AndroidStudioのエミュレータ内のブラウザがウェブに繋がらないときの対策

Android Studioからではなく、コマンドラインからDNSサーバを指定して起動すれば解決しました。

/Users/#{ユーザー名}/Library/Android/sdk/emulator/emulator -avd #{エミュレータの名前} -dns-server 8.8.8.8

といった具合です。
とりあえずシェルスクリプトをバッチファイルにして保存しておいたので、次回からは楽々で起動できそうです。